Мы предлагаем только то, что одобряем сами: Расчет среднего гармонического онлайн
  • Logotip Abc2home.ru
  • Статьи
  • Свадьба
  • Звезды
  • Видео
  • Контакты

Среднее гармоническое - определение, формула и программа расчета онлайн

  • Календарь
  • Погода
  • Знаки зодиака
  • Созвездия
  • Блог
  • КоПИЛКА
  • Дача

Среднее гармоническое

Предлагаемая здесь программа, помимо расчета среднего гармонического, умеет еще и приводить исходные данные к стандартному виду, а так же упорядочивать их по возрастанию или убыванию...

Содержание:

  • Определение среднего гармонического и среднего степенного
  • Расчет среднего гармонического
  • Свойства среднего гармонического
  • Прикладное значение среднего гармонического
  • Задания ЕГЭ, на тему "Среднее гармоническое"

 

среднее гармоническое
Рис.1. Гармонический ряд и среднее гармоническое

Среднее гармоническое от двух реже трех чисел используется в математике не менее двух с половиной тысяч лет (возможно более 4000 лет). Свойства средних гармонических, арифметических и геометрических величин для двух чисел были детально изучены еще пифагорейцами, поэтому они так же называются классическими пифагорейскими средними.

Свое название среднее гармоническое получило благодаря замечательному свойству гармонического ряда: каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее обратно-пропорциональное от двух соседних членов (рисунок). Это свойство гармонического ряда было известно еще во времена Аристотеля.
.

В свете современных представлений:

Среднее гармоническое значение множества положительных вещественных чисел определяется как результат деления количества этих чисел на сумму их обратных величин:

aср.гapм =  
n
1
 a1
 + 
1
a2
 + … + 
1
an

 


Таким образом, мы имеем дело исключительно с положительными вещественными числами ai > 0.
Среднее гармоническое является частным случаем среднего степенного с показателем степени d = - 1.

Среднее степенное значение   sd  порядка (степени) d от множества заданных чисел a1+ a2+ …+ an определяется формулой:
 

sd = 
(
n
∑
i=1
  aid  

n
 
)
1
d

то есть среднее гармоническое можно представить в следующем виде:
 

aср.гapм =  s-1 = 
(
n
∑
i=1
  ai-1  

n
 
)
-1


 

Расчет среднего гармонического

Для того чтобы начать онлайн расчет среднего гармонического введите исходные числа в одно из полей ввода-вывода данных.
В первое поле можно ввести последовательность чисел, разделенных точкой с запятой (программа попытается так же преобразовать к стандартному виду, например, вставленную копию последовательности чисел с плавающей точкой, разделенных пробелами, запятой или точкой с запятой).
Во второе поле можно вводить числа по одному - они автоматически будут добавляться к данным первого поля, если расчет не запустился автоматически, кликните по зеленой кнопке, показывающей количество чисел в исследуемом массиве:
 

Введите исходные данные


Введите число

Что-то пошло не так... Прямое восхождение не может быть больше 24 часов, минуты и секунды больше 60, а склонение по абсолютной величине не должно быть больше 90°

Среднее гармоническое, aср. гарм


Для наглядной демонстрации правила о средних

aср. гарм   ≤   aср. геом   ≤   a ср. арифм

выводим так же результат расчета среднего арифметического и среднего геометрического:

Среднее арифметическое [1], aср. арифм   и   стандартное отклонение σ [2]


Среднее геометрическое [3], aср. геом


 
aсреднее гармоническое   ≤   aсреднее геометрическое   ≤   a среднее арифметическое


Если добавить расчет среднего квадратического и степенного, то получиться, что расчет всех средних можно лровести на этой странице (all-means-in-one)

 

Среднее квадратическое [4], aср.квадр

 

Среднее степенное [5], aср.степ d   с показателем степени d:  

 

Design by Sergey Ov for abc2home.ru

 

ВНИМАНИЕ! При перезагрузке страницы введенная информация не сохраняется, если Вы не сгенерировали код для записи результатов работы в командной строке:

Сохранить расчет среднего гармонического в истории браузера

Адресную строку с кодом из Ваших данных Вы можете переслать на любое устройство и воспроизвести на нем результаты расчетов

 

После того как будут введены хотя бы два исходных числа, цвет квадратной кнопки на поле ввода данных должен поменяться с оранжевого на зеленый, и автоматически начнется расчет среднего гармонического и сопутствующих параметров, если это не произошло, то кликните по зеленому полю кнопки.


Страницы по теме "Расчет средних значений"

  • Среднее арифметическое - расчет онлайн, определение, формула
  • Среднеквадратическое отклонение - расчет онлайн, определение, формула
  • Среднее геометрическое - расчет онлайн, определение, формула
  • Среднее гармоническое и среднее степенное - расчет онлайн, определения, формулы
  • Среднее квадратическое - расчет онлайн, определение, формула

 


Свойства среднего гармонического

1. Среднее гармоническое значение множества заданных неотрицательных чисел лежит между минимальным и максимальным числами из этого множества.

2. Кроме того среднее гармоническое подчиняется неравенству о средних для множества положительных вещественных чисел

amin   ≤   aср. гарм   ≤   aср. геом   ≤   aср. арифм   ≤   a ср.квадр ≤   a max [2*] ,

то есть для любого множества положительных чисел среднее гармоническое никогда не бывает больше среднего арифметического [1]:

  n
√

 a1 · a2 · … · an
 
 ≤  
a1+ a2+ …+ an
n
 

 

3. Следует запомнить, что среднее гармоническое от двух чисел легко приводится к виду:

aср.гарм 2 =  
2 a1a2
a1 + a2
 

отсюда в случае двух чисел имеем:
- среднее арифметическое aср.арифм =   ( a1 + a2)/2;
- среднее геометрическое aср.геом =   √a1a2 ,
тогда
aср.гарм =   aср.геом · aср.геом / aср.арифм
или
aср.геом = √aср.гарм · aср.арифм


Cреднее гармоническое от трех чисел
приводится к следующему виду:

aср.гарм 3 =  
3 a1a2a3
a1a2 + a1a3 + a2a3
 

 

Прикладное значение среднего гармонического

Согласно закону Ома для участка цепи общее сопротивление параллельно соединенных проводников определяется соотношением:

1
 RΣ
  =  
1
R1
 + 
1
 R2
 +  ...  +  
1
Rn

 

не трудно догадаться, что среднее сопротивление соединенных такого соединения проводников будет вычисляться в точности как среднее гармоническое.По формуле среднего гармонического вычисляется и средняя емкость последовательно соединенных конденсаторов, а так же индуктивность параллельно соединенных катушек.

В геометрии среднее гармоническое наиболее известным образом связано со свойством вписанной в треугольник окружности - ее радиус равен одной трети от среднего гармонического его высот.
Другой геометрический сюжет - гармонический центр трапеции (Рис.2, точка О) - длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований:

xEF =  
2 aABcCD
aAB + cCD
 

 

Трапеция, гармонический центр

Рис.2. Гармонический центр трапеции O и всплывающая подсказка для доказательства правила среднего гармонического

Среднее гармоническое широко применяенся в физике, статистике, социологии, финансовой аналитике, там где требуется осреднение и оценка обратно пропорциональных значений от исходных величин. Например, средняя скорость теплохода Vср , плавающего по реке между пунктами A и B с расстоянием S со скоростью V1 вверх против течения и V2 вниз по течению будет определяться по формуле:

Vср =  
2S 
t
  =  
2S 
S/V1 + S/V2
  =  
2 
1/V1 + 1/V2
  =  
2V1V2
V1 + V2


 

Задания ЕГЭ, на тему "Среднее гармоническое"

Задание:

Основания трапеции относятся как 1:2. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям.
В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?


Для решения задачи делается дополнительное построение (Рис.2).

Проведем через точку F прямую FH параллельную стороне DA, а затем продолжим основание АВ до пересечения с этой прямой в точке G, как показано на рисунке.
Треугольники AOB и DOC подобны, их высоты относятся как  ac . Треугольники FBG также FCH подобны, их высоты относятся как  x - a c - x .
Поскольку рассматриваемые пары треугольников имеют равные высоты, получаем  x - a c - x  =  ac , отсюда:

x =  
2 ac
a + c
 

 


Найденная длина отрезка является средним гармоническим оснований трапеции.

Поскольку, по условиям задачи с = 2a, получаем x = 2a · 2a / 3a = 4/3·a.
Тогда

SABFE =  
a + x 
2
 
 · h1 =  
a +4/3·a 
2
 
 · h1 = 7/6·a·h1 

SEFCD =  
x + c 
2
 
 · h2 =  
4/3·a + 2·a 
2
 
 · h2 = 5/3·a·h2 

Поскольку треугольники AOB и DOC подобны, их высоты h1 и h2, проведенные соответственно к сторонам и относятся как 1:2 и h2= 2h1.
Таким образом, для искомого отношения площадей трапеций и имеем:

 
SABFE
SEFCD
 
  =  
7/6·a·h1
5/3·a·2·h1
 
  = 7/20


Ответ: 7:20

 

P.S. На этой странице используется Бета версия программы расчета среднего гармонического, об обнаруженных недочетах, а так же возможных пожеланиях просьба сообщить на форум сайта (окно для входа на форум находится в нижней части страницы).

 

 

1. Среднее арифметическое значение (чаще используется термин, просто, "среднее арифметическое" или "среднее") множества заданных чисел определяется как число равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество:

aср.арифм =  
a1+ a2+ …+ an
n
 

 

2. Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение) значений множества заданных чисел от среднего арифметического определяется как число равное квадратному корню от суммы квадратов разности этих чисел и среднего арифметического, делённой на количество этих чисел:

σ = 
√

(a1 - acp)2 + (a2 - acp)2 + …+ (an - acp)2
n
 

3. Среднее геометрическое значение множества положительных вещественных чисел определяется как результат взаимного умножения этих чисел и извлечения из произведения корня с показателем равным количеству чисел:

aср.геом = n
√

 a1 · a2 · … · an
 
  =  
(
n
∏
i=1
ai
)
1
n


Среднее квадратическое значение множества заданных чисел определяется как число равное квадратному корню от суммы квадратов этих чисел, делённой на их количество:

aср.квадр = 
√

a12 + a22 + … + an2
n
 

 

 

Можно сказать, что среднее квадратическое равно квадратному корню из среднего арифметического[1] квадратов заданных чисел a1+ a2+ …+ an


5. Среднее арифметическое является степенным средним c d = 1, среднее квадратическое - d = 2, среднее гармоническое можно считать степенным средним порядка d = -1.

 


● Главная ▸ Статьи ▸ Блог ▸ Копилка ✔ Среднее гармоническое расчет онлайн

НАВИГАЦИЯ И РЕКЛАМА

Луна Сегодня, Луна в сей Час
  • ФАЗЫ ЛУНЫ 2023
  • ЛУНА СЕГОДНЯ

  • ПОИСК НА САЙТЕ


Как поддержать сайт?


 
 

 

Созвездие Орион (Orion)

 

СозвездияСОЗВЕЗДИЯ, ЗВЕЗДЫ
Как найти созвездие, звезду?
  • Большая Медведица
  • Малая Медведица
  • Кассиопея
  • Цефей
  • Андромеда
  • Персей
  • Орион
  • Лебедь
  • Лира
  • Орел
  • Жираф
  • Волопас
  • Лев - созвездие
  • Дева - созвездие
  • Весы - созвездие
  • Скорпион - созвездие
  • Стрелец - созвездие
  • Козерог - созвездие
  • Водолей - созвездие
  • Рыбы - созвездие
  • Овен - созвездие
  • Телец - созвездие


ABC2home.ru
Яндекс - виджет

Лунные календари садовода 2020, прогноз погоды, новости, видео и фото

 Поделиться:

 

 Лента Новостей:
 feed

Наши предложения

  • ЗОДИАК

    • Созвездия и мифы
    • Лунный календарь
  • ВИДЕО

    • Монтаж фильмов
      DVD, Blu-Ray
  • СВАДЕБНЫЕ ТРАДИЦИИ

    • Встреча молодоженов с караваем

 

Информация

 

Лунный календарьЛУННЫЙ КАЛЕНДАРЬ
садовода-огородника 2023
  • ФЕВРАЛЬ 2023
  • МАРТ 2023
  • АПРЕЛЬ 2023

 

Солнце и зодиак

с 21 марта 2023
по 20 апреля 2023
ОВЕН
Знак зодиака Овен - Солнце в знаке Овна Знаки зодиака, 2023

"Знак зодиака Овен - Луна и Солнце в знаке Овна. Созвездие Овен"

Знак зодиака Овен с точки зрения античной философии. Описание созвездия Овна.

Copyright © 2009 - 2023 ABC2home.ru Расчеты на JavaScript

© "Среднее гармоническое | Расчет онлайн JS" - 15 мая 2019, обновление 21.01.2023.

При использовании материалов этой страницы в других информационных источниках ссылка на сайт ABC2home.ru - обязательна.